题目内容

椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
1-(
b
a
)2
；该命题类比到双曲线中，一个真命题是：双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的离心率e=
 
．
分析：根据椭圆离心率的公式与基本量的平方关系，推理得到椭圆的离心率e=
1-(
b
a
)2
．由此类推到双曲线，用同样的方法加以证明，可得双曲线的离心率e=
1+(
b
a
)2
，从而得到本题答案．
解答：解：∵椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1中，半焦距c满足c=
a2-b2
，
∴椭圆的离心率e=
c
a
=
a2-b2
a
=
a2-b2
a2
=
1-(
b
a
)2
．
根据以上的推理，结合双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的半焦距c满足c=
a2+b2
，
可得双曲线的离心率e=
c
a
=
a2+b2
a
=
a2+b2
a2
=
1+(
b
a
)2
．
故答案为：
1+(
b
a
)2
点评：本题由椭圆离心率的推导过程，探求类似的双曲线离心率的一个公式．着重考查了椭圆与双曲线的标准方程及其基本概念、类比推理的一般方法等知识，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
2
2
，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直线l的方程．
精英家教网如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，求证：|AT|2=
1
2
|AF1||AF2|．
精英家教网如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF1的中点，求证：∠ATM=∠AF1T．
设 A（x1，y1）、B（x2，y2）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的两点，O为坐标原点，向量
m
=(
x1
a
，
y1
b
)，
n
=(
x2
a
，
y2
b
)且
m
•
n
=0．
（1）若A点坐标为（a，0），求点B的坐标；
（2）设
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
，证明点M在椭圆上；
（3）若点P、Q为椭圆 上的两点，且
PQ
∥
OB
，试问：线段PQ能否被直线OA平分？若能平分，请加以证明；若不能平分，请说明理由．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
2
2
，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直线l的方程．

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