Question

已知数列{a_n}满足：a₁=

7

2

，且a_n+1=

1

2

a_n+

1

4

，S_n是数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：S_n≥

7

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n+1=

1

2

a_n+

1

4

，变形为an+1-

1

2

=

1

2

(a n-

1

2

)，可得数列{an-

1

2

}是等比数列，利用其通项公式即可得出；
（Ⅱ）利用等比数列的前n项和公式可得S_n，再利用S_n单调性即可证明．

解答：（Ⅰ）解：由a_n+1=

1

2

a_n+

1

4

，变形为an+1-

1

2

=

1

2

(a n-

1

2

)，
∴数列{an-

1

2

}是以a1-

1

2

=

7

2

-

1

2

=3为首项，公比为

1

2

的等比数列，
∴an-

1

2

=3×(

1

2

)n-1，即an=3×(

1

2

)n-1+

1

2

．
（Ⅱ）证明：∵an=3×(

1

2

)n-1+

1

2

．
∴Sn=3(1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)+

n

2

=

3(1- 1 2n )

1- 1 2

+

n

2

=6(1-

1

2n

)+

n

2

．
由于数列{

1

2n

}是关于n的单调递减数列，{

n

2

}是关于n的单调递增数列，
∴S_n是单调递增数列，
∴S_n≥S₁=6×(1-

1

2

)+

1

2

=

7

2

．

点评：本题考查了可化为等比数列的数列的通项公式的求法、等比数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性等基础知识与基本技能方法，属于中档题．