Question

一个皮球从10米高的地方竖直掉到地面，受外界各种因素的影响，以后每一次反弹的高度是前一次的一半，此过程一直延续下去，则最终皮球所跑的路程为

10+20[1-(

1

2

)n-1]

米．

Answer 1

分析：第一次落地时皮球经过的路程是10米，第二落地时皮球经过的路程是5×2米，第三次落地时皮球经过的路程是2.5×2米，第四次落地时皮球经过的路程是1.25×2米，…第n次落地时皮球经过的路程是5×(

1

2

)n-2×2米，n≥2．由此能求出最终皮球所跑的路程．

解答：解：第一次落地时皮球经过的路程是10米，第二落地时皮球经过的路程是5×2米，
第三次落地时皮球经过的路程是2.5×2米，第四次落地时皮球经过的路程是1.25×2米，
…第n次落地时皮球经过的路程是5×(

1

2

)n-2×2米，n≥2．
∴最终皮球所跑的路程
Sn=10+2×5(1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-2)
=10+10×

1×[1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

=10+20[1-(

1

2

)n-1]（m）．
故答案为：10+20[1-(

1

2

)n-1]．

点评：本题考查数列知识的综合运用，易错点是忽视皮球第二次及第二次以后每落地时皮球经过的路程是上、下两段距离．解题时要认真审题，注意等比数列前n项和公式的合理运用．