Question

定义：对于区间I内可导的函数y=f（x），若?x₀∈I，使f（x₀）=f′（x₀）=0，则称x₀为函数y=f（x）的新驻点．已知函数f（x）=a^x-x．
（Ⅰ）若函数y=f（x）存在新驻点，求新驻点x₀，并求此时a的值；
（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求导数f'（x）=a^xlna-1，由题意得f(x0)=ax0-x0=0①f′(x0)=ax0lna-1=0②两式联立即可得到a=e

1

e

．
（Ⅱ）f（x）=a^x-x≥0?a^x≥x，下面分类讨论：（i）x≤0时，显然恒成立，（ii）x＞0时，设g(x)=

lnx

x

，则g′(x)=

1-lnx

x2

，利用导数研究其单调性即可求实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=a^x-x，∴f'（x）=a^xlna-1，由题意得f(x0)=ax0-x0=0①f′(x0)=ax0lna-1=0②
由①得ax0=x0代入②得x₀=log_ae，即ax0=e③
代入①得x₀=e，∴a^e=e，∴a=e

1

e

．
（Ⅱ）f（x）=a^x-x≥0?a^x≥x，
（i）x≤0时，显然恒成立，
（ii）x＞0时，ax≥x?lnax≥lnx?xlna≥lnx?lna≥

lnx

x

，
设g(x)=

lnx

x

，则g′(x)=

1-lnx

x2

，g'（e）=0，
当x∈（0，e）时，g'（x）＞0，g（x）递增，
当x∈（e，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）递减，g(x)max=g(e)=

1

e

，∴lna≥

1

e

，∴a≥e

1

e

．

点评：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．