Question

定义：对函数y=f（x），对给定的正整数k，若在其定义域内存在实数x₀，使得f（x₀+k）=f（x₀）+f（k），则称函数f（x）为“k性质函数”．
（1）若函数f（x）=2^x为“1性质函数”，求x₀；
（2）判断函数f(x)=

1

x

是否为“k性质函数”？说明理由；
（3）若函数f(x)=lg

a

x2+1

为“2性质函数”，求实数a的取值范围．

Answer 1

（本题满分（16分），第（1）小题（4分），第2小题（6分），第3小题6分）
（1）由f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）得2x0+1=2x0+2，…（2分）
∴2x0=2，∴x₀=1．                                           …（4分）
（2）若存在x₀满足条件，
则

1

x0+k

=

1

x0

+

1

k

即x02+kx0+k2=0，…（7分）
∵△=k²-4k²=-3k²＜0，∴方程无实数根，与假设矛盾．
∴f(x)=

1

x

不能为“k性质函数”．                                …（10分）
（3）由条件得：lg

a

(x0+2)2+1

=lg

a

x 20 +1

+lg

a

5

，…（11分）
即

a

( x 20 +2)2+1

=

a2

5( x 20 +1)

（a＞0），
化简得(a-5)

x

20

+4ax0+5a-5=0，…．（13分）
当a=5时，x₀=-1；                                                …（14分）
当a≠5时，由△≥0，
16a²-20（a-5）（a-1）≥0即a²-30a+25≤0，
∴15-10

2

≤a≤15+10

2

．
综上，a∈[15-10

2

，15+10

2

]                             …（16分）