题目内容
已知向量
=（1，2），
=（-3，2）
（1）求向量
在
方向上的投影；
（2）是否存在实数k，使得k
+
与
-3
共线，且方向相反？
| a |
| b |
（1）求向量
| a |
| b |
（2）是否存在实数k，使得k
| a |
| b |
| a |
| b |
分析：（1）由向量数量积运算的几何意义知，向量
在
方向上的投影为
，代入坐标计算即可；
（2）利用两个向量共线的充要条件，将其转化为坐标运算，解方程可得k值，再利用实数与向量积的几何意义，判断方向即可
| a |
| b |
| ||||
|
|
（2）利用两个向量共线的充要条件，将其转化为坐标运算，解方程可得k值，再利用实数与向量积的几何意义，判断方向即可
解答：解：（1）∵
•
=|
| •|
|cos＜
，
＞
设向量
与
的夹角为θ，
则向量
在
方向上的投影|
|cosθ=
=
=
（2）假设存在实数k，则∵k
+
=k（1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2），
-3
=（1，2）-3（-3，2）=（10，-4）
若（k
+
）∥（
-3
），得-4（k-3）-10（2k+2）=0，
解得k=-
此时k
+
=（-
，
）=-
（10，-4），
所以k
+
=-
（
-3
），即两个向量方向相反
故题设的实数k存在，k=-
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
设向量
| a |
| b |
则向量
| a |
| b |
| a |
| ||||
|
|
| -3+4 | ||
|
| ||
| 13 |
（2）假设存在实数k，则∵k
| a |
| b |
| a |
| b |
若（k
| a |
| b |
| a |
| b |
解得k=-
| 1 |
| 3 |
此时k
| a |
| b |
| 10 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
所以k
| a |
| b |
| 1 |
| 3 |
| a |
| b |
故题设的实数k存在，k=-
| 1 |
| 3 |
点评：本题考查了向量数量积运算的几何意义，向量的坐标表示及其运算性质，投影的定义及运算，向量共线的充要条件
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