Question

已知命题P：函数f（x）=lg（ax²-x+

a

16

）的定义域为R，命题Q：不等式a＞

1

x+1

对x∈（0，+∞）均成立，如果“P或 Q”为真命题，“P且Q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：当命题P为真时，可得a＞2；当命题Q为真时，可得a≥1．“P或 Q”为真命题，“P且Q”为假命题，说明P、Q当中一个是真命题，另一个是假命题．再讨论当P真Q假时和当Q真P假时的两种情况，可得符合题意的实数a的取值范围．

解答：解：“P或 Q”为真命题，“P且Q”为假命题，说明P、Q当中一个是真命题，另一个是假命题．
命题P：函数f（x）=lg（ax²-x+

a

16

）的定义域为R，说明

a＞0 1-4×a× a 16 ＜0

⇒a＞2
命题Q：不等式a＞

1

x+1

对x∈（0，+∞）均成立，说明a＞（

1

x+1

）_max，可得a≥1
当P真Q假时，不存在a的值符合条件；当Q真P假时，a∈[1，2]
所以符合题意的实数a的取值范围是[1，2]．

点评：本题考查了命题真假的判断与应用，属于中档题．当“P或 Q”为真命题，“P且Q”为假命题时，说明两个命题中有且仅有一个为真命题，这是考试常见的题意．