Question

（2013•资阳二模）设函数f（x）=x³-x²-3．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）-m在[-1，2]上有三个零点，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）设函数g（x）=

a

x

+xlnx，如果对任意的x₁，x₂∈[

1

2

，2]，都有f（x₁）≤g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接把原函数求导，由导函数等于0得到导函数的零点，由零点对定义域分段，由导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调区间；
（Ⅱ）构造辅助函数 h（x）=f（x）-m，由导函数求出该函数的最值，要保证函数y=f（x）-m在[-1，2]上有三个零点，可由最小值和最大值的符号结合端点值的正负列式求解不等式组即可得到实数m的取值范围；
（Ⅲ）由（Ⅰ）中的单调性求出函数f（x）在区间[

1

2

，2]上的最大值，则问题对任意的x₁，x₂∈[

1

2

，2]，都有f（x₁）≤g（x₂）成立转化为只需当x∈[

1

2

，2]时，g(x)=

a

x

+xlnx≥1恒成立即可，即等价于a≥x-x²lnx恒成立，然后利用导数求函数u（x）=x-x²lnx在区间[

1

2

，1]上取得最大值，则实数a的取值范围可求．

解答：解析：（Ⅰ）由f（x）=x³-x²-3．
得f^′（x）=3x²-2x=x（3x-2），
当f^′（x）＞0时，解得x＜0或x＞

2

3

；
当f^′（x）＜0时，解得0＜x＜

2

3

．
故函数f（x）的单调递增区间是(-∞，0)，(

2

3

，+∞)；单调递减区间是(0，

2

3

)．
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-m，则h（x）=x³-x²-3-m，∴h^′（x）=3x²-2x=x（3x-2），
由（Ⅰ）知，当函数h（x）在（-∞，0）上单调递增，在(0，

2

3

)上单调递减，在(

2

3

，+∞)上单调递增．
函数h（x）在x=0处取得极大值h（0）=-3-m，在x=

2

3

处取得极小值h(

2

3

)=-

85

27

-m，
由函数y=f（x）-m在[-1，2]上有三个零点，则有：

h(-1)≤0 h(0)＞0 h( 2 3 )＞0 h(2)≥0

，即

-5-m≤0 -3-m＞0 - 85 27 -m＞0 1-m≥0

，解得-

85

27

＜m＜-3，
故实数a的取值范围是(-

85

27

，-3)．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，函数f（x）在(

1

2

，

2

3

)上单调递减，在(

2

3

，2)上单调递增，
而f(

1

2

)=-

25

8

，f（2）=1，
故函数f（x）在区间[

1

2

，2]上的最大值f（x）_max=f（2）=1．
∴只需当x∈[

1

2

，2]时，g(x)=

a

x

+xlnx≥1恒成立即可，即等价于a≥x-x²lnx恒成立，所以，记u（x）=x-x²lnx，所以a≥u（x）_max，u^′（x）=1-x-2xlnx，可知u^′（1）=0，
当x∈(

1

2

，1)时，1-x＞0，2xlnx＜0，则u^′（x）＞0，∴u（x）在(

1

2

，1)上单调递增；
当x∈（1，2）时，1-x＜0，2xlnx＞0，则u^′（x）＜0，∴u（x）在（1，2）上单调递减；
故当x=1时，函数u（x）在区间[

1

2

，1]上取得最大值u（1）=1，
所以a≥1，故实数a的取值范围是[1，+∞）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考察了利用导数研究函数的极值，考查了导数在最大值、最小值问题中的应用，考查了数学转化思想方法和函数构造法，训练了利用分离变量法求参数的取值范围，是有一定难度题目．