Question

在等差数列{a_n}中，S_n为其前n项和（n∈N^*），且a₃=5，S₃=9．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=

1

anan+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，解方程组

a1+2d=5 3a1+6d=9

可求得a₁与d，从而可求等差数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用裂项法可求得b_n=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），从而可求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）由已知条件得

a1+2d=5 3a1+6d=9

…（2分）
解得a₁=1，d=2，…（4分）
∴a_n=2n-1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a_n=2n-1，
∴b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），…（9分）
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]
=

1

2

（1-

1

2n+1

）
=

n

2n+1

．…（12分）

点评：本题考查等差数列的通项公式，着重考查裂项法求和，求得b_n=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）是关键，属于中档题．