Question

已知f（x）=

2x-a

x2+2

(x∈R)在区间[-1，1]上是增函数．
（1）求实数a的值所组成的集合A；
（2）设关于x的方程f（x）=

1

x

的两个根为x₁、x₂，若对任意x∈A及t∈[-1，1]，不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）f（x）在区间[-1，1]上是增函数?f′（x）≥0对x∈[-1，1]恒成立?x²-ax-2≤0对x∈[-1，1]恒成立，设φ（x）=x²-ax-2，由

φ(1)≤0 φ(-1)≤0

即可求得答案；
（2）由（1）求得-1≤a≤1，于是可求得|x₁-x₂|=

a2+8

≤3，不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意x∈A及t∈[-1，1]恒成立?m²+tm+1≥3对任意t∈[-1，1]恒成立，从而可求得m的取值范围．

解答：解：（1）∵f′（x）=

4+2ax-2x2

(x2+2)2

=

-2(x2-ax-2)

(x2+2)2

，
∵f（x）在区间[-1，1]上是增函数，
∴f′（x）≥0对x∈[-1，1]恒成立，
即x²-ax-2≤0对x∈[-1，1]恒成立．
设φ（x）=x²-ax-2，则问题等价于

φ(1)=1-a-2≤0 φ(-1)=1+a-2≤0

?-1≤a≤1，
∴A=[-1，1]．
（2）由

2x-a

x2+2

=

1

x

，得x²-ax-2=0，△=a²+8＞0，
∴x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的两非零实根，
∴x₁+x₂=a，x₁x₂=-2，从而|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

a2+8

，
∵-1≤a≤1，
∴|x₁-x₂|=

a2+8

≤3．
∴不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意x∈A及t∈[-1，1]恒成立
?m²+tm+1≥3对任意t∈[-1，1]恒成立
?m²+tm-2≥0≥0对任意t∈[-1，1]恒成立．
设g（t）=m²+tm-2=mt+（m²-2），则问题又等价于

g(-1)=m2-m-2≥0 g(1)=m2+m-2≥0

?m≤-2，
∴m≥2，即m的取值范围是（-∞，-2]∪[2，+∞）．

点评：本题考查利用导数研究函数单调性的性质，考查函数恒成立问题，考查综合法与分析法的应用，（2）中求得|x₁-x₂|≤3是关键，也是难点．属于难题．