Question

如图所示，正方体的棱长为1, 分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱、交于，设，，给出以下四个命题：

①平面平面；
②当且仅当时，四边形的面积最小；
③四边形周长，是单调函数；
④四棱锥的体积为常函数；
以上命题中真命题的序号为           。

Answer 1

①②④

试题分析：①连结，则由正方体的性质可知，平面，所以平面平面，所以①正确；②连结，因为平面，所以，四边形的对角线是固定的，所以要使面积最小，则只需的长度最小即可，此时当为棱的中点时，即时，此时长度最小，对应四边形的面积最小．所以②正确；③因为，所以四边形是菱形．当时，的长度由大变小．当时，的长度由小变大．所以函数不单调．所以③错误；④连结则四棱锥分割为两个小三棱锥，它们以为底，以分别为顶点的两个小棱锥．因为的面积是个常数，到平面的距离是个常数，所以四棱锥的体积为常函数，所以④正确．所以选C．