Question

已知函数（a＞0，且a≠1），其中为常数．如果 是增函数，且存在零点（为的导函数）．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁<x₂）是函数y＝g（x）的图象上两点，（ 为的导函数），证明：．

Answer 1

（1）a＝e （2）证明略

解析:

（Ⅰ）因为，

所以．…………………………3分

因为h（x）在区间上是增函数，

所以在区间上恒成立．

若0<a<1，则lna<0，于是恒成立．

又存在正零点，故△＝（－2lna）²－4lna＝0，lna＝0，或lna＝1与lna<0矛盾．

所以a>1．

由恒成立，又存在正零点，故△＝（－2lna）²－4lna＝0，

所以lna＝1，即a＝e． ………………………………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ），，于是，．…………9分

以下证明．      （※）

（※）等价于． ………………………11分

令r（x）＝xlnx₂－xlnx－x₂＋x，……………………………13分

r ′（x）＝lnx₂－lnx，在（0，x₂］上，r′（x）>0，所以r（x）在（0，x₂］上为增函数．

当x₁<x₂时，r（x₁）< r（x₂）＝0，即，

从而得到证明．…………………………………………15分

对于同理可证

所以．……………………………………16分