题目内容

已知数列{a_n}的前n项和S_n和通项a_n满足 $数学公式$ （q是常数且q＞0，q≠1，）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）当 $数学公式$ 时，试证明a₁+a₂+…+a_n＜ $数学公式$ ；
（3）设函数f（x）=log_qx，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），是否存在正整数m，使 $数学公式$ 对任意n∈N^*都成立？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

解：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1= $\text{[math]}$ （a_n-1-1）（2分）
? $\text{[math]}$ （2分）
又由S₁=a₁= $\text{[math]}$ （a₁-1）得a₁=q（3分）
∴数列a_n是首项a₁=q、公比为q的等比数列，∴a_n=q•q^n-1=qⁿ（5分）
（2） $\text{[math]}$ （7分）
= $\text{[math]}$ （9分）

（3）b_n=log_qa₁+log_qa₂+log_qa_n=log_q（a₁a₂a_n）= $\text{[math]}$ （9分）
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （11分）
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
∵n=1时 $\text{[math]}$ ，
∴m≤3（14分）
∵m是正整数，
∴m的值为1，2，3．（16分）
分析：（1）由a_n=S_n-S_n-1= $\text{[math]}$ （a_n-1-1），知 $\text{[math]}$ ，由S₁=a₁= $\text{[math]}$ （a₁-1）得a₁=q，由此知a_n=q•q^n-1=qⁿ．
（2） $\text{[math]}$ ，由此能证明出a₁+a₂+…+a_n＜ $\text{[math]}$ ．
（3）b_n=log_qa₁+log_qa₂+log_qa_n=log_q（a₁a₂a_n）= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，由此能求出m的值．
点评：本题考查数列和不等式的综合运用，解题时要注意等比数列性质的灵活运用．