题目内容
【题目】已知函数
，且
.
（1）试求
的值；
（2）用定义证明函数
在
上单调递增；
（3）设关于
的方程
的两根为
，试问是否存在实数
，使得不等式
对任意的
及
恒成立？若存在，求出
的取值范围；若不存在说明理由.
【答案】(1) 
；（2）见解析；（3
.
【解析】试题分析：（1）由
，即可求出
的值；（2）利用单调增函数的定义即可证明；（3）化简
为
，利用韦达定理可得
，根据
，得出
的取值范围，不等式
对任意的
恒成立等价为
在
恒成立，令
，根据（2）求出
，即可求出
的取值范围.
试题解析：(1)∵
∴
∴
（2）∵
∴
设
，
∴
，
∵
∴
∴
∴
又∵
，
∴
∴
∴
在
上单调递增.
（3）∵
∴
∴
又∵
∴
，故只需当
，使得
恒成立，即
在
恒成立，也即
在
恒成立，
∴令
， 
由第（2）问可知
在
上单调递增，
同理可得
在
上单调递减.
∴
∴
故
的取值集合是
.
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