Question

如图，四边形ABCD是一个边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一半径为90米的扇形小山，其余部分都是平地，P是弧TS上一点，现有一位开发商想在平地上建造一个两边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR，求长方形停车场PQCR面积的最大值．

Answer 1

分析：求停车场面积，需建立长方形的面积函数．这里自变量的选取十分关键，通常有代数和三角两种设未知数的方法如果设长方形PQCR的一边长为x（不妨设PR=x），则另一边长PQ=100-

902-(100-x)2

，这样S_PQCR=PQ•PR=x•（100-

902-(100-x)2

），但该函数的最值不易求得，如果将∠BAP作为自变量，用它可表示PQ、PR，再建立面积函数，则问题就容易得多．

解答：解：延长RP交AB于M，设∠PAB=α（0°＜α＜90°），则
AM=90cosα，MP=90sinα，PQ=100-90cosα，PR=100-90sinα．
∴S_PQCR=PQ•PR=（100-90cosα）（100-90sinα）
=10000-9000（cosα+sinα）+8100cosαsinα．
设t=cosα+sinα，
∵0°≤α≤90°
∴t∈(1，

2

]，cosαsinα=

t2-1

2

．
∴SPQCR=10000-9000t+8100×

t2-1

2

=4050(t-

10

9

)2+950．
∴当t=

2

时，S_PQCR有最大值14050-9000

2

．
答：长方形停车场PQCR面积的最大值为14050-9000

2

平方米．

点评：本题考查的重点是函数模型的构建，解题的关键是自变量的选取，利用配方法求函数的最值．