Question

已知等差数列{a_n}的公差d大于0，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根，数列{b_n}的前n项和为T_n，且．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，试比较的大小，并说明理由．

Answer 1

解：（1）设a_n的首项为a₁，∵a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根，
∴
∴a_n=2n-1
n=1时，
∴
n≥2时，，，
两式相减得 数列是等比数列，
∴
（2）∵S_n==n²，∴S_n+1=（n+1）²，=．
以下比较与S_n+1的大小：
当n=1时，=，S₂=4，∴＜S₂，当n=2时，=，S₃=9，∴＜S₃，
当n=3时，=，S₄=16，∴＜S₄，
当n=4时，=，S₅=25，∴＞S₅．猜想：n≥4时，＞S_n+1．
下面用数学归纳法证明：①当n=4时，已证．
②假设当n=k （k∈N^*，k≥4）时，＞S_k+1，即＞（k+1）²．
那么n=k+1时，==3•＞3（k+1）²=3k²+6k+3
=（k²+4k+4）+2k²+2k-1＞[（k+1）+1]²=S_（k+1）+1，
∴n=k+1时，＞S_n+1也成立．由①②可知n∈N^*，n≥4时，＞S_n+1都成立
综上所述，当n=1，2，3时，＜S_n+1，当n≥4时，＞S_n+1．
分析：（1）由于数列{a_n}是等差数列，故只需求出首项和公差就可求其通项公式；由数列{b_n}的前n项和为T_n 通过递推然后两式相减可求得b_n．
（2）利用等差数列求和公式得出S_n，S_n+1．以下分别令n=1，2，3，4．比较与S_n+1的大小，再猜想：n≥4时，＞S_n+1．最后利用数学归纳法证明．
点评：本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式、数列与不等式的综合、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．