Question

已知a，b，c成等差数列，点P（-1，0），点N（3，3），点P在随机运动的直线ax+by+c=0上的射影为M，若|MN|∈（5-

2

，

17

），则称M，N为“和谐点”，则M，N成为“和谐点”的概率为

1

4

．

Answer 1

分析：由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质得到2b=a+c，整理后与直线方程ax+by+c=0比较发现，直线ax+by+c=0恒过Q（1，-2），再由点P（-1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，得到PM与QM垂直，利用圆周角定理得到M在以PQ为直径的圆上，由P和Q的坐标，利用中点坐标公式求出圆心A的坐标，利用两点间的距离公式求出此圆的半径r，线段MN长度的最大值即为M与圆心A的距离与半径的和，由此能求出结果．

解答：解：∵a，b，c成等差数列，
∴2b=a+c，即a-2b+c=0，
得方程ax+by+c=0恒过Q（1，-2），
又点P（-1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，
∴∠PMQ=90°，
∴M在以PQ为直径的圆上，即M的轨迹是圆，
构造三角形ANM，|NM|_max=

17

，|AN|=

5

，R=

2

，由余弦定理知∠PAM=45°，
又有圆的对称性得另一边的三角形∠PAM=45°，
所以，M点在圆上运动的轨迹的圆心角为90°为360°的

1

4

，
所以答案应为

1

4

．

点评：此题考查了等差数列的性质，恒过定点的直线方程，圆周角定理，线段中点坐标公式，以及两点间的距离公式，利用等差数列的性质得到2b=a+c，即a-2b+c=0是解本题的突破点．