Question

已知函数f（x）=（x²-ax+1）e^ax，其中a∈R，x∈R若函数．y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与X轴平行．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a＞0时，设g（x）=lnf（x），当，x∈（1，+∞）时，函数g（x）图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？证明你的结论．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由所给函数的表达式，求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由平行直线的斜率相等方程求a的值即可；
（Ⅱ）对参数a进行分类，令导数fˊ（x）＞0，解不等式即可求出f（x）的单调性；
（Ⅲ）先由（Ⅰ）得出a的值，然后假设存在两点使得过此两点处的切线互相垂直，求出函数的导数，再根据k₁•k₂=-1，列出关于x₁、x₂的不等式，推出矛盾就可得出结论．

解答：解：f′（x）=e^ax[ax²-（a²-2）x]
（1）因为f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．
f′（1）=0，即a-a²+2=0
解得a=-1或2
（2）由f′（x）=e^ax[ax²-（a²-2）x]得
①a=2时，f′（x）=e^2x_（2x²-2x）
由f′（x）＞0得
x＞1或x＜0
∴函数f（x）的单调递增区间是（-∞，0）和（1，+∞），单调递减区间是（0，1）
②a=-1时，令f′（x）＞0得0＜x＜1
∴函数f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是 （-∞，0）和（1，+∞）
（Ⅲ）当a＞0时，由（1）知a=2
∵g（x）=lnf（x）=ln（x²-2x+1）+2x
假设存在两点A、B，使得过此两点处的切线互相垂直，则由
g′（x）=

1

x2-2x+1

•(2x-2)+2=

2x

x-1

知斜率k₁=g′（x₁）=

2x1

x1-1

  k₂=g′（x₂）=

2x2

x2-1

且k₁•k_2^=-1
∵x∈（1，+∞）
∴x₁-1＞0，x₂-1＞0
∴

2x1

x1- 1

•

2x2

x2-1

＞0，因此上式矛盾！故假设不成立．
∴函数上不存在两点A、B，使得过此两点处的切线互相垂直．

点评：本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、两条直线平行的判定等基础知识，会利用导数研究函数的单调区间，考查推理能力．