Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2b-c）cosA=a•cosC．
（1）求角A的大小；
（2）若b+c=6，a=2

6

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化简已知等式，变形后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinB不为0求出cosA的值，即可确定出A的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将b+c，a以及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（1）已知等式（2b-c）cosA=a•cosC，由正弦定理化简得（2sinB-sinC）cosA=sinA•cosC，
整理得：2sinB•cosA=sinCcosA+sinAcosC，即2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，
在△ABC中，sinB≠0，
∴cosA=

1

2

，∴A=

π

3

；
（2）∵b+c=6，a=2

6

，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bcosA，即24=b²+c²-bc，
∴24=（b+c）²-3bc，
∵b+c=6，
∴bc=4，
∴S_△ABC=

1

2

bc•sinA=

1

2

×4×

3

2

=

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．