Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率．直线l：x-2y+2=0与椭圆C相交于E、F两点，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P（-2，0），A、B为椭圆C上的动点，当PA⊥PB时，求证：直线AB恒过一个定点．并求出该定点的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出椭圆方程，E，F的坐标，根据离心率设，则b可求得，把直线方程与椭圆方程联立根据判别式求得t的范围．根据线段EF的距离求得t，则椭圆方程可得．
（2）当直线l不垂直于x轴时，设AB：y=kx+mA（x₁，y₁）B（x₂，y₂），与椭圆方程联立，根据=0求得m，分别代入直线方程即可求得直线恒过的点．进而再看当直线l垂直于x轴时，可求得A，B的坐标，代入=0符合题意．综合答案可得．
解答：解：（1）设椭圆方程为（a＞b＞0），E（x₁，y₁）F（x₂，y₂）令则b=t
∴
由得：2y²-2y+1-t²=0
△=4-4×2（1-t²）＞0∴，
∴t²=1
椭圆C的方程是：
（2）当直线l不垂直于x轴时，设AB：y=kx+mA（x₁，y₁）B（x₂，y₂）得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0=
∴12k²+5m²-16km=0（6k-5m）（2k-m）=0
∴
当时，恒过定点
当m=2k时，AB：y=kx+2k恒过定点（-2，0），不符合题意舍去
当直线l垂直于x轴时，若直线AB：则AB与椭圆C相交于，
∴
∵PA⊥PB，满足题意
综上可知，直线AB恒过定点，且定点坐标为
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．注意讨论直线斜率存在和不存在两种情况．