Question

已知抛物线y²=4x及点P（2，2），直线l的斜率为1且不过点P，与抛物线交于点A，B，
（1）求直线l在y轴上截距的取值范围；
（2）若AP，BP分别与抛物线交于另一点C、D，证明：AD，BC交于定点．

Answer 1

（1）设直线l的方程为y=x+b（b≠0），由于直线不过点P，因此b≠0
由

y=x+b y2=4x

得x²+（2b-4）x+b²=0，由△＞0，解得b＜1
所以，直线l在y轴上截距的取值范围是（-∞，0）∪（0，1）
（2）设A，B坐标分别为(

m2

4

，m)，(

n2

4

，n)，因为AB斜率为1，所以m+n=4，
设D点坐标为(

yD2

4

，yD)，因为B、P、D共线，所以k_PB=k_DP，得yD=

8-2n

2-n

=

2m

m-2

直线AD的方程为y-m=

yD-m

yD2 4 - m2 4

(x-

m2

4

)
当x=0时，y=

my D

yD+m

=

2m2

2m+m2-2m

=2
即直线AD与y轴的交点为（0，2），同理可得BC与y轴的交点也为（0，2），
所以AD，BC交于定点（0，2）．