Question

设函数f（x）=x³-3ax²+3b²x
（1）若a=1，b=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若0＜a＜b，不等式，f（

1+lnx

x-1

）＞f（

k

x

）对任意x∈（1，+∞）恒成立，求整数k的最大值．

Answer 1

分析：（1）把a=1，b=0代入函数f（x）=x³-3ax²+3b²x中，对其进行求导，求出x=1处的导数，得出直线的斜率，写出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）对f（x）进行求导，利用导数研究其单调性，可得f（x）是单调递减的，根据不等式，f（

1+lnx

x-1

）＞f（

k

x

），可以推出

1-lnx

x-1

＞

k

x

，利用常数分离法进行求解；

解答：解：（1）当a=1，b=0时，f（x）=x³-3x² 所以f（1）=-2 即切点为P（1，-2）
因为f′（x）=3x²-6x所以 f′（1）=3-6=-3，
所以切线方程为y+2=-3（x-1）即y=-3x+1，
（2）f′（x）=3x²-6ax+3b²，
由于0＜a＜b，所以△=36a²-36b²=36（a+b）（a-b）＜0，
所以函数f（x）在R上单调递增
所以不等式f（

1-lnx

x-1

）＞f（

k

x

）
?

1-lnx

x-1

＞

k

x

?

(1-lnx)x

x-1

＞k，对x∈（1，+∞）恒成立，
构造h（x）=

(1-lnx)x

x-1

，h′（x）=

(2+lnx)(x-1)-(x+xlnx)

(x-1)2

=

x-lnx-2

(x-1)2

构造g（x）=x-lnx-2，g′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

，
对x∈（1，+∞），g′（x）=

x-1

x

＞0 所以g（x）=x-lnx-2在x∈（1，+∞）递增，
g（1）=-1，g（2）=-ln2，g（3）=1-ln3＜0，g（4）=2-ln4＞0，
所以?x₀∈（3，4），g（x₂）=x₀-lnx₀-2=0，
所以x∈（1，x₀），g（x）＜0，h（x）＜0，
所以，所以h（x）=

(1+lnx)x

x-1

在（1，x₂）递减
x∈（x₀，+∞），g（x）＞0，h（x）＞0，
所以h（x）=

(1+lnx)x

x-1

在（x₀，+∞）递增
所以，h（x）_min=h（x₀）=

(1+lnx0)x0

x0-1

结合
g（x₀）=x₀-lnx₀-2=0得到，
h（x）_min=h（x₀）=

(1+lnx0)x0

x0-1

=x₀∈（3，4）
所以k＜

(1+lnx)x

x-1

对x∈（1，+∞）恒成立?k＜h（x）_min，
所以k≤3，整数k的最大值为3；

点评：此题主要考查函数的恒成立问题，考查的知识点比较全面，是一道综合性比较强的题，导数是我们研究函数单调性的重要工具，每年都会考的热点问题；