Question

（2011•蓝山县模拟）设集合A={x|x²-（a+1）x+a＜0}，B={x|

2x+1

x-2

＞0}．
（1）当a=3时，求A∩B；
（2）若A⊆?_RB，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）解分式不等式求出集合B，解一元二次不等式求出集合A，根据两个集合的交集的定义求出A∩B．
（2）先根据补集的定义求出?_RB=[-

1

2

，2]，再根据A⊆?_RB，分a＞1、a=1、a＜1三种情况，分别由 A⊆?_RB 求出a的取值范围，再取并集即得所求．

解答：解：（1）∵B={x|

2x+1

x-2

＞0}={x|(2x+1)(x-2)＞0}={x|x＜-

1

2

，或x＞2}=（-∞，-

1

2

）∪（2，+∞）．
当a=3时，A={x|x²-4x+3＜0}={x|（x-3）（x-1）＜0 }={x|1＜x＜3}=（1，3），
∴A∩B=（2，3）．
（2）因B={x|x＜-

1

2

，或x＞2}=（-∞，-

1

2

）∪（2，+∞），
∴?_RB=[-

1

2

，2]．
再由集合A={x|x²-（a+1）x+a＜0}={x|（x-1）（x-a）＜0}，
当a＞1时，A=（1，a+1），且 A⊆?_RB，可得 

a＞1 a≤2

，解得1＜a≤2．
当a=1时，A=∅，显然满足  A⊆?_RB．
当a＜1时，A=（a，1），且 A⊆?_RB，可得 

a＜1 a≥- 1 2

，解得 1＞a≥-

1

2

．
综上可得2≥a≥-

1

2

，
∴a的取值范围为[-

1

2

，2]．

点评：本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，集合的补集，两个集合的交集、并集的定义和求法，体现了等价转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．