Question

如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与平面α所成的角为

π

4

，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，若AB=3A'B'，则AB与平面β所成的角的正弦值是（　　）

• A．

  14

  6

• B．

  5

  5

• C．

  22

  6

• D．

  3

  3

Answer 1

分析：连接AB′，BA′，由题设知∠B′AB=

π

4

，AA′⊥β，BB′⊥α，∠ABA′是AB与平面β所成的角，由此能求出AB与平面β所成的角的正弦值．

解答：解：连接AB‘，BA’，
∵平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与平面α所成的角为

π

4

，
过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，
∴∠B′AB=

π

4

，AA′⊥β，BB′⊥α，∠ABA′是AB与平面β所成的角，
设A′B′=a，∵AB=3A'B'，∴AB=3a，
设AB′=BB′=x，则2x²=9a²，解得AB′=BB′=

3 2

2

a，
∴A′B=

9a2 2 +a2

=

22

2

a ，AA′=

9a2- 11 2 a2

=

14

2

a，
∴sin∠ABA′=

14 2 a

3a

=

14

6

．
故选A．

点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．