Question

等差数列{a_n}不是常数列，且a₁=1，若a₁，a₃，a₉构成等比数列．
（1）求a_n；
（2）求数列{an•2an}前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由a₁，a₃，a₉构成等比数列，求出等差数列的公差，从而写出通项公式；
（2）把通项公式代入an•2an，运用错位相减法求数列{an•2an}前n项和S_n．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₁，a₃，a₉构成等比数列，得a1a9=a32，即1×（1+8d）=（1+2d）²，解得d=1，或d=0（舍去），
∴d=1，所以a_n=n．
（2）设数列{an•2an}前n项和为s_n，则
sn=1•21+2•22+3•23+…+n•2n
两边同乘以2得2sn=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1
两式相减得sn=n•2n+1-（2¹+2²+…+2ⁿ）=（n-1）2^n-1+2．

点评：求一个等差和一个等比数列对应项的积构成的数列的前n项和，常用方法是错位相减法，注意错位相减法的解题技巧是把第一个和式两边同乘以等比数列的公比，特别注意相减后最后一项的符号．