Question

19．已知数列{a_n}满足${a_1}=1，{a_{n+1}}=\frac{1}{2}{a_n}+1（n∈N*）$，通过计算a₁，a₂，a₃，a₄可猜想a_n=$\frac{{{2^n}-1}}{{{2^{n-1}}}}$．

Answer 1

分析 由已知中数列{a_n}满足${a_1}=1，{a_{n+1}}=\frac{1}{2}{a_n}+1（n∈N*）$，通过计算a₂，a₃，a₄，分析分子分母的变化规律，可得数列的通项公式．

解答 解：∵数列{a_n}满足${a_1}=1，{a_{n+1}}=\frac{1}{2}{a_n}+1（n∈N*）$，
当n=1时，${a}_{2}=\frac{1}{2}{a}_{1}+1$=$\frac{3}{2}$，
当n=2时，${a}_{3}=\frac{1}{2}{a}_{2}+1$=$\frac{7}{4}$，
当n=1时，${a}_{4}=\frac{1}{2}{a}_{3}+1$=$\frac{15}{8}$，
…
归纳可得：a_n=$\frac{{{2^n}-1}}{{{2^{n-1}}}}$．
故答案为：$\frac{{{2^n}-1}}{{{2^{n-1}}}}$

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．