Question

已知函数f(x)=

ax

ax+  a

( a＞0，a≠1 )
（1）求f（x）+f（1-x）及f(

1

10

)+f(

2

10

)+f(

3

10

)+…+f(

9

10

)的值；
（2）是否存在自然数a，使

a f(n)

f (1-n)

＞n2对一切n∈N都成立，若存在，求出自然数a的最小值；不存在，说明理由；
（3）利用（2）的结论来比较

1

4

n (n+1 )•lg3和lg（n！）（n∈N）的大小．

Answer 1

（1）f（x）+f（1-x）
=

ax

ax+ a

+

a1-x

a1-x+ a

=

ax

ax+ a

+

a

a+ax a

=

2aax+a2x a +a a

(ax+ a )(a+ax a )

=1．
f(

1

10

)+f(

2

10

)+f(

3

10

)+…+f(

9

10

)
=[f(

1

10

) +f(

9

10

) ]+[f(

2

10

)+f(

8

10

) ]+[f(

3

10

) +f(

7

10

) ]+[f(

4

10

) +f(

6

10

) ]+f(

1

2

)
=4+

a

2 a

=

9

2

．
（2）假设存在自然数a，使

a f(n)

f(1-n)

＞n2对一切n∈N都成立．
由f(n)=

an

an+ a

，f(1-n)=

a

a +an

得

a f(n)

f(1-n)

=…=

a an

a

=an，
当a=1，2时，不等式aⁿ＞n²显然不成立．
当a≥3时，aⁿ≥3ⁿ＞n²，
当n=1时，显然3＞1，
当n≥2时，3n=(1+2)n=1+

C

1n

×2+

C

2n

×22+…≥1+2n+4×

n(n-1)

2

=2n²+1＞n²成立，
则 3ⁿ＞n²对一切n∈N都成立．
所以存在最小自然数a=3．
（3）由3ⁿ＞n²?3

n

2

＞n（n∈N），
所以3

1

2

＞1＞0，3

2

2

＞2＞0，…，3

n

2

＞n＞0，
相乘得3

1

2

(1+2+…+n)＞n!，3

n(n+1)

4

＞n!，

1

4

(n+1)nlg3＞lgn!成立．