Question

已知O为平面直角坐标系的原点，过点M（-2，0）的直线l与圆x²+y²=1交于P，Q两点．
（Ⅰ）若|PQ|=

3

，求直线l的方程；
（Ⅱ）若

MP

=

1

2

MQ

，求直线l与圆的交点坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）|PQ|是圆内的弦长，再由半径，可求弦心距；即圆心到直线l的距离d；因为直线l过点M，可设直线l的点斜式，求出斜率，写出直线方程．
（Ⅱ）由

MP

=

1

2

MQ

，可设P、Q两点的坐标，由向量的坐标表示可得P、Q两点的坐标关系式①；
P、Q两点是直线与圆的交点，其坐标满足圆的方程，得到关系式②；①②组成方程组，解得P、Q点的坐标．

解答：解：（Ⅰ）依题意，直线l的斜率存在，
因为直线l过点M（-2，0），可设直线l：y=k（x+2）．
因为|PQ|=

3

，圆的半径为1，且P，Q两点在圆x²+y²=1上，
所以，圆心O到直线l的距离d=

1-( 3 2 )2

=

1

2

．
即：d=

|2k|

k2+1

=

1

2

，
所以，k=±

15

15

，
所以直线l的方程为x-

15

y+2=0或x+

15

y+2=0．
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
所以

MQ

=(x2+2，y2)，

MP

=(x1+2，y1)．
因为

MQ

=2

MP

，
所以

x2+2=2(x1+2) y2=2y1

，即

x2=2(x1+1) y2=2y1

（*）；
因为　P，Q两点在圆上，
所以，

x12+y12=1 x22+y22=1

，把（*）代入，得

x12+y12=1 4(x1+1)2+4y12=1

，
所以，

x1=- 7 8 y1=± 15 8

，

x2= 1 4 y2=± 15 4

所以P点坐标为(-

7

8

，

15

8

)或(-

7

8

，-

15

8

)，Q点坐标为(

1

4

，

15

4

)或(

1

4

，-

15

4

)．

点评：本题考查了直线与圆相交时的弦长问题，向量的坐标表示，二元二次方程组的解法等知识，计算能力要求高，是中档题．