Question

已知数列{a_n}满足a₁=4，a_n=4-

4

an-1

(n≥2)，令bn=

1

an-2

．
（1）求证数列{b_n}是等差数列．（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）由题设知an-2=2-

4

an-1

，于是有

1

an-2

=

1

2

+

1

an-1-2

，b_n-b_n-1=

1

2

，由此可知数列{b_n}为等差数列．
（2）由题设知b_n=

n

2

，于是有

1

an-2

=

n

2

，两边同时取倒数后能够得到a_n=

2

n

+2．

解答：解：（1）an=4-

4

an-1

，
an-2=2-

4

an-1

=2×

an-1-2

an-1

，
于是有

1

an-2

=

1

2

+

1

an-1-2

，
bn=

1

2

+bn-1，即b_n-b_n-1=

1

2

，
故有数列{b_n}为等差数列，公差为

1

2

．
（2）b1=

1

a1-2

=

1

2

．
所以有b_n=

n

2

，
于是有

1

an-2

=

n

2

，
∴a_n=

2

n

+2．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意等差数列的性质的应用和判断．