题目内容
如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|=3米，|AD|=2米．（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？
（2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积．
分析：（1）由题意设出AN的长为x米，因为三角形DNC∽三角形ANM，则对应线段成比例可知AM，表示出矩形AMPN的面积令其大于32得到关于x的一元二次不等式，求出解集即可；
（2）解法1：利用a+b≥2
当且仅当a=b时取等号的方法求出S的最大值即可；
解法2：求出S′=0时函数的驻点，讨论函数的增减性得出函数的最大值即可．
（2）解法1：利用a+b≥2
| ab |
解法2：求出S′=0时函数的驻点，讨论函数的增减性得出函数的最大值即可．
解答：解：（1）解：设AN的长为x米（x＞2）
由题意可知：∵
=
∴
=
∴|AM|=
∴SAMPN=|AN|•|AM|=
由SAMPN＞32得
＞32，
∵x＞2
∴3x2-32（x-2），即（3x-8）（x-8）＞0（x＞2）
解得：2＜x＜
或x＞8
即AN长的取值范围是(2，
)∪(8，+∞)
（2）解法一：∵x＞2，
∴SAMPN=
=
=3(x-2)+
+12≥2
+12=24(10分)
当且仅当3(x-2)=
，即x=4时，取“=”号
即AN的长为4米，矩形AMPN的面积最小，最小为24米．
解法二：∵S=
(x＞2)∴S′=
=
=
令S'=0得x=4
当2＜x＜4时，S'＜0当x＞4时S'＞0
当x=4时，S取极小值，且为最小值．
即AN长为4米时，矩形AMPN的面积最小，最小为24平方米．
由题意可知：∵
| |DN| |
| |AN| |
| |DC| |
| |AM| |
| x-2 |
| x |
| 3 |
| |AM| |
| 3x |
| x-2 |
∴SAMPN=|AN|•|AM|=
| 3x2 |
| x-2 |
由SAMPN＞32得
| 3x2 |
| x-2 |
∵x＞2
∴3x2-32（x-2），即（3x-8）（x-8）＞0（x＞2）
解得：2＜x＜
| 8 |
| 3 |
即AN长的取值范围是(2，
| 8 |
| 3 |
（2）解法一：∵x＞2，
∴SAMPN=
| 3x2 |
| x-2 |
| 3(x-2)2+12(x-2)+12 |
| x-2 |
| 12 |
| x-2 |
3(x-2)
|
当且仅当3(x-2)=
| 12 |
| x-2 |
即AN的长为4米，矩形AMPN的面积最小，最小为24米．
解法二：∵S=
| 3x2 |
| x-2 |
| 6x(x-2)-3x2 |
| (x-2)2 |
| 3x2-12x |
| (x-2)2 |
| 3x(x-4) |
| (x-2)2 |
令S'=0得x=4
当2＜x＜4时，S'＜0当x＞4时S'＞0
当x=4时，S取极小值，且为最小值．
即AN长为4米时，矩形AMPN的面积最小，最小为24平方米．
点评：考查学生会根据实际问题选择函数关系的能力，利用导数求闭区间上函数最值的能力．以及用a+b≥2
当且仅当a=b时取等号的方法求最值的能力．
| ab |
练习册系列答案
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米(如图所示)
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