Question

已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2

B

2

=

3

sinB，b=1
（1）若A=

5π

12

，求边c的大小；
（2）若a=2c，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）将已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，变形后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据特殊角的三角函数值求出B的度数，再由A的度数，利用三角形的内角和定理即可求出C的度数，由sinB，sinC及b的值，利用正弦定理即可求出c的值；
（2）由B的度数，求出sinB及cosB的值，利用余弦定理得到b²=a²+c²-2accosB，将b=1，a=2c及cosB的值代入求出c的值，进而求出a的值，由a，c及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（1）∵2cos²

B

2

=

3

sinB，∴1+cosB=

3

sinB，
∴2（

3

2

sinB-

1

2

cosB）=1，即2sin（B-

π

6

）=1，
∴B-

π

6

=

π

6

或

5π

6

（舍），解得：B=

π

3

，（3分）
又A=

5π

12

，则C=

π

4

，
由正弦定理

c

sinC

=

b

sinB

，得c=

bsinC

sinB

=

6

3

；（6分）
（2）∵B=

π

3

，∴sinB=

3

2

，cosB=

1

2

，
由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，
将b=1，a=2c，cosB=

1

2

代入，解得：c=

3

3

，则a=

2 3

3

，（8分）
则S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×

2 3

3

×

3

3

sin

π

3

=

3

6

．（10分）

点评：此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的余弦函数公式，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．