Question

【题目】过抛物线的焦点且斜率为的直线交抛物线于，两点，且．

（1）求的值；

（2）抛物线上一点，直线（其中）与抛物线交于，两个不同的点（均与点不重合），设直线，的斜率分别为，，．动点在直线上，且满足，其中为坐标原点．当线段最长时，求直线的方程．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）设直线方程为，联立抛物线方程由焦点弦长公式求解即可得P值；（2）直线与抛物线联立由结合韦达定理得直线恒过定点，利用得动点地轨迹为圆，利用圆的性质即可求最小值

（1）抛物线的焦点为，设直线方程为

联立抛物线方程可得

故：，

∴，解得．

（2）由（1）知抛物线方程为，从而点，设，

∵，∴，．

由

可得，即

从而该式满足式

∴即直线恒过定点．

设动点，∵，∴

∴动点在，故与重合时线段最长，

此时直线，即：．