Question

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）若二面角C₁-BD-C的大小为60°，求异面直线BC₁与AC所成角的大小。

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱， ∴CC1⊥平面ABCD，∴BD⊥CC1， ∵ABCD是正方形， ∴BD⊥AC， 又∵AC，CC1平面ACC1A1，且AC∩CC1=C， ∴BD⊥平面ACC1A1。
（Ⅱ）解：设BD与AC相交于O，连接C1O， ∵CC1⊥平面ABCD，BD⊥AC， ∴BD⊥C1O， ∴∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角， ∴∠C1OC=60°，连接A1B， ∵A1C1∥AC， ∴∠A1C1B是BC1与AC所成角， 设BC=a，则CO=，CC1=CO·tan60°=， A1B=BC1=，A1C1=， 在△A1BC1中， 由余弦定理得cosA1C1B=， ∴∠A1C1B=arccos， ∴异面直线BC1与AC所成角的大小为arccos。