Question

已知数列{a_n），其中a₂=6，=n
（1）求a₁、a₃、a₄；
（2）求数列{a_n}通项公式；
（3）设数列{b_n}为等差数列，其中b_n=（c为不为零的常数），若S_n=b₁+b₂+…+b_n，求++…+．

Answer 1

【答案】分析：（1）在=n中，分别令n=2，3，4得出关于a₁、a₃、a₄；的方程计算求解即可．
（2）猜想a_n=n（2n-1），再用数学归纳法证明
（3）由（2）利用2b₂=b₁+b₃．求出c，继而得出bn，Sn，再利用裂项求和法得出结果．
解答：解：（1）a₂=6，=1，=2，=3
得a₁=1，a₃=15，a₄=28
（2）猜想a_n=n（2n-1），下面用数学归纳法证明
①当n=1时，由已知，显然成立．
②假设当n=k（k≥1）时成立，即a_k=k（2k-1）
则当n=k+1时，有=k．所以（k-1）a _k+1=（k+1）a _k-k（k+1），
a _k+1=（k+1）[2（k+1）-1]
即当n=k+1时也成立．所以a_n=n（2n-1）成立
（3）因为{b_n}为等差数列，所以2b₂=b₁+b₃．
∴，又a₁=1，a₂=6，a₃=15，
∴，∴==2n．
故S_n=b₁+b₂+…+b_n，=n（n+1）
++…+=[+…+]
=（1-）+（）+…+（）=1-=
点评：本题考查数列递推公式与通项公式，数列前n项和求解，考查数学归纳法的数学功用．考查推理论证，运算求解能力与求和方法．．