Question

已知数列{a_n}中，其前n项和为S_n，且n，a_n，S_n成等差数列（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求S_n＞57时n的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知，n，a_n，S_n成等差数列，所以S_n=2a_n-n，S_n-1=2a_n-1-（n-1），（n≥2），经两式相减后，可构造出等比数列{a_n+1}，通过数列{a_n+1}的通项公式求得数列{a_n}的通项公式
（2）由（1）知，S_n=2a_n-n=2ⁿ⁺¹-2-n，所以S_n+1-S_n=2ⁿ⁺¹-1＞0，{S_n}为递增数列．由S_n＞57，求得n＞5

解答：解：（1）由已知，n，a_n，S_n成等差数列，所以S_n=2a_n-n，S_n-1=2a_n-1-（n-1），（n≥2）
两式相减得a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1-1，
即a_n=2a_n-1+1，两边加上1，得a_n+1=2（a_n-1+1），
所以数列{a_n+1}是等比数列，且公比q=2，又S₁=2a₁-1，∴a₁=1，a₁+1=2
数列{a_n+1}的通项公式为a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，所以数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ-1，
（2）由（1）知，S_n=2a_n-n=2ⁿ⁺¹-2-n，所以S_n+1-S_n=2ⁿ⁺¹-1＞0，{S_n}为递增数列．
S_n＞57时，2ⁿ⁺¹-n＞59，又当n=5时，2⁶-5=59，所以n＞5

点评：本题考查数列递推公式与通项公式，数列的函数性质．考查转化构造，运算求解能力．