Question

12．设函数f（x）=-lnx+x²．
（1）判断f（x）的单调性；
（2）求f（x）在区间[$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）先求函数f（x）=-lnx+x²的定义域，再求导f′（x）=-$\frac{1}{x}$+2x=$\frac{（\sqrt{2}x+1）（\sqrt{2}x-1）}{x}$；从而由导数的正负确定函数的单调性；
（2）由（1）知f（x）在区间[$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]上是减函数，在[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3}{4}$]上是增函数，从而求闭区间上的最值．

解答 解：（1）f（x）=-lnx+x²的定义域为（0，+∞），
f′（x）=-$\frac{1}{x}$+2x=$\frac{（\sqrt{2}x+1）（\sqrt{2}x-1）}{x}$；
∴当x∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）时，f′（x）＜0，
当x∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）的单调减区间为（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），单调增区间为（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）；
（2）由（1）知，
f（x）在区间[$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]上是减函数，在[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3}{4}$]上是增函数，
f_max（x）=f（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$ln2，
f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{16}$+ln4，f（$\frac{3}{4}$）=$\frac{9}{16}$+ln4-ln3=$\frac{1}{16}$+ln4+$\frac{1}{2}$-ln3＜$\frac{1}{16}$+ln4；
故f_min（x）=f（$\frac{3}{4}$）=$\frac{9}{16}$+ln4-ln3．

点评 本题考查了导数的综合应用及闭区间上最值的求法，属于中档题．