Question

平地上有一条水渠，其横断面是一段抛物线弧，如图，已知渠宽为4

6

m，渠深为6m．
（1）若渠中水深为m，求水面的宽，并计算水渠横断面上的过水面积；
（2）为了增大水渠的过水量，现要把这条水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的水渠，使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽．

Answer 1

分析：（1）建立坐标系，设抛物线的方程为x²=2py（p＞0）．由已知点P（2

6

，6）在抛物线上，推导出抛物线的方程为y=

1

4

x2，由此能求出水渠横断面过水面积．
（2）为了使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切，设切点M（t，

1

4

t2），t＞0．则函数在点M的切线方程为y-

1

4

t2=

1

2

t(x-t)，由此能推导出设计改挖后的水渠的底宽为2

3

m时，可使用权所挖土的土方量最少．

解答：解：（1）建立如图的坐标系，
设抛物线的方程为x²=2py（p＞0）．
由已知点P（2

6

，6）在抛物线上，得p=2，
∴抛物线的方程为y=

1

4

x2，
令y=4，得x=±4，即水面宽为8（m），
∴水渠横断面过水面积为2（4×4-

∫

4 0

1

4

x2dx
2（16-

1

12

x3）

|

4 0

=

64

3

（m²）．
（2）为了使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切，
如图，设切点M（t，

1

4

t2），t＞0．
则函数在点M的切线方程为y-

1

4

t2=

1

2

t(x-t)，
令y=0，y=6，得A（

1

2

t，0），B（

t

2

+

12

t

，6），
∴此时校对形OABC的面积为S（t）=

1

2

(t+

12

t

)•6=3（t+

12

t

），t＞0，
∵S（t）=3（t+

12

t

）≥12

3

，
当且仅当t=2

3

时，等号成立，
此时|OA|=

3

，
∴设计改挖后的水渠的底宽为2

3

m时，可使用权所挖土的土方量最少．

点评：本题考查函数在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，注意定积分的合理运用．