Question

已知函数f(x)=

2x2+1

(x＞0)，数列{a_n}满足a₁=1，当n≥2时，a_n=f（a_n-1）
（1）求a_n； 
（2）若bn=

2n

an+an+1

，若S_n=b₁+b₂+…+b_n，求

lim

n→∞

bn•Sn

(an)2

．

Answer 1

分析：（1）根据a_n=f（a_n-1），可得a_n²+1=2（a_n-1²+1），从而可知{a_n²+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，故可求a_n；      
（2）由（1）可得bn=

2n+1-1

-

2n-1

，从而S_n=b₁+b₂+…+b_n=

2n+1-1

-1，故可求极限．

解答：解：（1）∵a_n=f（a_n-1）
∴a_n²+1=2（a_n-1²+1）
∴{a_n²+1}是以2为首项，2为公比的等比数列
∴a_n²+1=2ⁿ
∴an=

2n-1

（2）∵bn=

2n

an+an+1

∴bn=

2n+1-1

-

2n-1

∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

2n+1-1

-1
∴

lim

n→∞

( 2n+1-1 - 2n-1 )• ( 2n+1-1 -1)

(  2n-1 )2

=2-

2

点评：本题以函数为载体，考查构造法求数列的通项，考查叠加法求和，考查了数列的极限，综合性强．