Question

已知f（x）=x²ln（ax）（a＞0）．
（1）若曲线y=f（x）在x=

e

a

处的切线斜率为3e，求a的值；
（2）求f（x）在[

1

e

，

e

]上的最小值．

Answer 1

（1）∵f′（x）=2xln（ax）+x²•

a

ax

=x[2ln（ax）+1]，
∴3e=f′（

e

a

）=

e

a

[2ln（a•

e

a

）+1]，
解得a=1．
（2）由题知x＞0，f′（x）=x[2ln（ax）+1]，
令f′（x）=0，则2ln（ax）+1=0，得x=

1

a e

，
①当a≥1时，

1

a e

≤

1

e

．
当x∈[

1

e

，

e

]时，f′（x）≥0，
∴f（x）在[

1

e

，

e

]上是增函数，
∴[f（x）]_min=f（

1

e

）=

1

e

ln

a

e

=

1

e

（lna-

1

2

）；
②当

1

e

＜a＜1时，

1

e

＜

1

a e

＜

e

．
当x∈[

1

e

，

1

a e

）时，f′（x）＜0；
当x∈[

1

a e

，

e

]时，f′（x）＞0，
∴f（x）在[

1

e

，

1

a e

]上是减函数，在[

1

a e

，

e

]上为增函数，
∴[f（x）]_min=f（

1

a e

）=

1

a2e

ln

1

e

=-

1

2a 2e

；
③当0＜a≤

1

e

时，

1

a e

≥

e

．
当x∈[

1

e

，

e

]时，f′（x）＜0，
∴f（x）在[

1

e

，

e

]上是减函数，
∴[f（x）]_min=f（

e

）=elna

e

=e（lna+

1

2

）．
综上所述：当a≥1时，f（x）在[

1

e

，

e

]上的最小值为

1

e

（lna-

1

2

）；
当

1

e

＜a＜1时，f（x）在[

1

e

，

e

]上的最小值为-

1

2a 2e

；
当0＜a≤

1

e

时，f（x）在[

1

e

，

e

]上的最小值为e（lna+

1

2

）．