Question

已知数列{a_n}的通项公式是an=n2+kn+2，若对于n∈N⁺，都有a_n+1＞a_n成立，则实数k的取值范围是

（-3，+∞）

．

Answer 1

分析：利用an=n2+kn+2，对于n∈N₊，都有a_n+1＞a_n成立，可得a_n+1-a_n=（n+1）²+（n+1）k+2-n²-kn-2=2n+1+k＞0，分离参数，利用n∈N₊，即可求得实数k的取值范围．

解答：解：因为an=n2+kn+2，对于n∈N₊，都有a_n+1＞a_n成立
所以a_n+1-a_n=（n+1）²+（n+1）k+2-n²-kn-2=2n+1+k＞0
所以k＞-（2n+1）
因为n∈N₊，所以k＞-3
所以实数k的取值范围是（-3，+∞）
故答案为：（-3，+∞）

点评：本题考查数列与函数的综合，考查利用函数思想，求参数的范围，应注意数列与函数的区别．