Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，P为椭圆上除长轴端点外的任一点，F₁，F₂为椭圆的两个焦点．
（1）若∠PF₁F₂=α，∠PF₁F₂=β，求证：离心率e=

cos α+β 2

cos α-β 2

；
（2）若∠F₁PF₂=2θ，求证：△F₁PF₂的面积为b²•tanθ．

Answer 1

分析：（1）根据∵∠PF₁F₂和∠PF₁F₂求得∠F₁PF₂，进而根据正弦定理分别求得|PF₁|和|PF₂|，代入|PF₁|+|PF₂|=2a中求得a和c的关系，求得离心率．
（2）设PF₁=x，PF₂=y，根据椭圆的定义可知x+y=2a，进而可得x²+y²=4a²-2xy代入余弦定理中，求得xy，然后根据三角形面积公式化简整理即可得出答案．

解答：（1）证明∵∠PF₁F₂=α，∠PF₁F₂=β，
∴∠F₁PF₂=180°-α-β
∴sin∠F₁PF₂=sin（α+β）
由正弦定理可得

PF 1

sinβ

= 

2c

sin(α+β)

，

PF 2

sinα

=

2c

sin(α+β)

∴|PF₁|=

2csinβ

sin(α+β)

，|PF₂|=

2csinα

sin(α+β)

根据椭圆的定义可知|PF₁|+|PF₂|=2a
∴a=

c(sinα+sinβ)

sin(α+β)

=c•

2sin α+β 2 cos α-β 2

2sin α+β 2 cos α+β 2

=c•

cos α-β 2

cos α+β 2

∴e=

c

a

=

cos α+β 2

cos α-β 2

（2）证明：设PF₁=x，PF₂=y
则根据椭圆的定义可知x+y=2a，
∴x²+y²=4a²-2xy
由余弦定理可知cos2θ=

x2+y2-4c2

2xy

=

4a2-2xy-4c2

2xy

∴xy=

2b2

cos2θ+1

=

2b2

2cos 2θ

∴：△F₁PF₂的面积S=

1

2

xysin2θ=

2sinθcosθb2

2cos 2θ

=b2•

sinθ

cosθ

=b²•tanθ

点评：本题主要考查了椭圆的应用及解三角形问题．解题的关键是充分利用椭圆的定义，找到三角形三边的关系，进而通过正弦定理和余弦定理转化成三角函数的化简．