Question

（2013•辽宁二模）给出下列命题：
①存在实数x，使sinx+cosx=

3

2

；
②若α、β是第一象限角，且α＞β，则cosα＜cosβ；
③函数y=sin(

2

3

x+

π

2

)是偶函数；
④A、B、C为锐角△ABC的三个内角，则sinA＞cosB
其中正确命题的序号是

③④

．（把正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析：利用两角和与差的三角函数判断①的正误；利用函数的单调性与函数的区间判断②的正误；
通过诱导公式以及函数的奇偶性判断③的正误；利用三角函数的单调性与诱导公式判断④的正误．

解答：解：①因为sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)≤

2

＜

3

2

，所以存在实数x，使sinx+cosx=

3

2

；不成立．
②若α、β是第一象限角，且α＞β，因为y=cosx在x∈(0，

π

2

)时，函数是减函数，则cosα＜cosβ，但是α＞β不在一个单调区间时，可能cosα＞cosβ；所以②不正确；
③因为y=sin(

2

3

x+

π

2

)=cos

2

3

x，所以函数y=sin(

2

3

x+

π

2

)是偶函数；正确．
④A、B、C为锐角△ABC的三个内角，因为A+B＞

π

2

，所以A＞

π

2

-B，
所以sinA＞sin（

π

2

-B）=cosB，即sinA＞cosB，所以④正确．
正确命题是③④．
故答案为：③④．

点评：本题考查两角和与差的三角函数，函数的单调性与函数的奇偶性的应用，命题的真假的判断，基本知识的应用．