Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c满足f（1）=1，f（-1）=-1．（1）求实数b值；（2）若不等式f（x）≥-2恒成立，求实数a的取值范围；（3）设函数y=f（x）存在最大值M（a），求M（a）的最小值．

Answer 1

解：（1）∵函数f（x）=ax²+bx+c满足f（1）=1，f（-1）=-1，
∴a+b+c=1，a-b+c=-1，解得 b=1，且 a+c=0．
（2）由上知 f（x）=ax²+x-a，
∵不等式f（x）≥-2恒成立，
∴ax²+x+2-a≥0 恒成立，
∴，解得 0＜a≤1+．
故实数a的取值范围为 {a|0＜a≤1+ }．
（3）由函数y=f（x）存在最大值M（a），f（x）=ax²+x-a，
故a＜0，且最大值 M（a）==（-a）+（ ）≥2=1，
当且仅当 （-a）=（ ），即 a=- 时，等号成立，
故M（a）的最小值为1．
分析：（1）由 函数f（x）=ax²+bx+c满足f（1）=1，f（-1）=-1，可得a+b+c=1，a-b+c=-1，由此解得 b 的值．
（2）由f（x）≥-2恒成立，可得 ax²+x+2-a≥0 恒成立，故有，解不等式组求得实数a的取值范围．
（3）由函数y=f（x）存在最大值M（a），故a＜0，且最大值 M（a）==（-a）+（ ），利用基本不等式求得M（a）的最小值．
点评：本题主要考查二次函数的性质，函数的恒成立问题，一元二次不等式的解法，以及基本不等式的应用，属于基础题．