Question

已知函数f(x)=sin4x-cos4x+2

3

sinxcosx+1
（1）求该函数的最小正周期及对称中心；
（2）求该函数在[0，π]上的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为y=2sin(2x-

π

6

)+1，由此求得最小正周期 T=

2π

2

=π．令2x-

π

6

=kπ，求得x=

k

2

π+

π

12

，所以对称中心为(

k

2

π+

π

12

，1)，k∈Z．
（2）令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，求得x的范围，再由x∈[0，π]，进一步确定x的范围，即可求得函数在[0，π]上单增区间．

解答：解：（1）∵y=sin4x+2

3

sinxcosx-cos4x+1=

=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+ 3 sin2x+1

=

3

sin2x-cos2x+1 
=2sin(2x-

π

6

)+1．…（4分）
所以，该函数的最小正周期 T=

2π

2

=π． …（6分）
令2x-

π

6

=kπ，则x=

k

2

π+

π

12

，所以对称中心为(

k

2

π+

π

12

，1)，k∈Z．…（8分）
（2）令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，即　kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z．
当k=0时，

- π 6 ≤x≤ π 3 0≤x≤π

，解得0≤x≤

π

3

．
当k=1时，

5π 6 ≤x≤ 4π 3 0≤x≤π

，解得

5π

6

≤x≤π，
所以，函数在[0，π]上单增区间是[0，

π

3

]，[

5

6

π，π]．…（14分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，求三角函数的单调区间，属于基础题．