Question

已知函数f（x）=1n（2-x）+ax在（0，1）内是增函数．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若b＞1，求证：1n（b+2）+1nb（b+1）＞

1

b(b+1)

．

Answer 1

分析：（1）由已知得f′（x）=

1

x-2

+a≥0 在（0，1）内恒成立，即a≥

1

x-2

在（0，1）内恒成立，由此求得a的取值范围．
（2）由题意可得 0＜

b-1

b

＜

b

b+1

＜1，再由f（x）=1n（2-x）+x在（0，1）内为增函数，则 f（

b-1

b

）＜f（

b

b+1

），化简变形可得所证的结论．

解答：解：（1）由已知得f′（x）=

1

x-2

+a≥0在（0，1）内恒成立，即a≥-

1

x-2

在（0，1）内恒成立．
而-

1

x-2

=

1

2-x

在（0，1）内的最大值为1，∴a≥1．
（2）∵b＞1，∴0＜

b-1

b

＜

b

b+1

＜1，又由（1）得当a=1时，
f（x）=1n（2-x）+x在（0，1）内为增函数，则 f（

b-1

b

）＜f（

b

b+1

），
∴ln （2-

b-1

b

）+

b-1

b

＜ln（2-

b

b+1

）+

b

b+1

，
即 ln

b+2

b+1

-ln

b+1

b

＞

b-1

b

-

b

b+1

，
∴ln（b+2）+lnb-2ln（b+1）＞

-1

b(b+1)

．

点评：本题主要考查函数的单调性和导数的关系，函数的单调性的应用，属于基础题．