Question

已知f（x）=x³+ax²+bx+c的图象与y轴交于点（0，2），并且在x=1处切线的方向向量为

n

=(1，3)．
（1）若x=

2

3

是函数f（x）的极值点，求f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在区间[

3

2

，2]单调递增，求实数b的取值范围．

Answer 1

（1）由题意可得：f′（x）=3x²+2ax+b，
因为函数的图象与y轴交于点（0，2），
所以C=2…①
又因为在x=1处切线的方向向量为

n

=(1，3)，
所以f′（1）=3+2a+b=3…②
因为x=

2

3

是函数f（x）的极值点，
所以f′（

2

3

）=

4

3

+

4a

3

+b=0…③
由①②③可得：a=2，b=-4，c=2．
所以f（x）=x³+a=2x²-4x+2．
（2）由题意可得：c=2，并且2a=-b，所以f′（x）=3x²-bx+b，
因为函数f（x）在区间[

3

2

，2]单调递增，
所以f′（x）=3x²-bx+b≥0在[

3

2

，2]上恒成立，
即b≤

3x2

x-1

在[

3

2

，2]上恒成立，
令g（x）=

3x2

x-1

，x∈[

3

2

，2]，
所以g（x）=3×

(x-1)2+2(x-1)+1

x-1

=3×[(x-1)+

1

x-1

+2]≥12，
当且仅当x-1=

1

x-1

，即x=2时，g（x）有最小值为12．
所以b≤g（x）_min=12，
所以实数b的取值范围（-∞，12]．