Question

（不等式选讲选做题）
（1）已知实数a、b、x、y满足a²+b²=1，x²+y²=3，求ax+by的最大值；
（2）若x＜1，求2-x+

4

(x-1)2

的最小值，并求此时x的值．

Answer 1

分析：（1）先根据柯西不等式可知（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²，进而的求得（ax+by）²的最大值，进而求得ax+by的最大值．
（2）先将2-x+

4

(x-1)2

凑成=1+

1-x

2

+

1-x

2

+

4

(x-1)2

，然后利用基本不等式求出函数的最值，检验等号何时成立．

解答：解：（1）因为a²+b²=1，x²+y²=3，
由柯西不等式（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²，得
3≥（ax+by）²，
所以ax+by的最大值为

3

．
（2）2-x+

4

(x-1)2

=1+

1-x

2

+

1-x

2

+

4

(x-1)2

≥1+3 

3	1-x 2 • 1-x 2 • 4 (x-1)2

=4
当且仅当

1-x

2

=

1-x

2

=

4

(x-1)2

即x=-1时取等号．
最小值为4，此时x的值为-1．

点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．解题的关键是利用了柯西不等式，达到解决问题的目的．