Question

已知函数f（x）=a?2^x+b|2^x-2|（x∈R）．若a，b∈（-2，2），且函数f（x）存在最大值，则在平面直角坐标系aOb内，动点（a，b）运动区域的面积是________．

Answer 1

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分析：利用x的范围去掉绝对值符号，根据函数f（x）存在最大值，得到a，b的关系，然后利用线性规划求出动点（a，b）运动区域的面积．
解答：解：函数f（x）=a?2^x+b|2^x-2|（x∈R）．若a，b∈（-2，2），且函数f（x）存在最大值，
所以f（x）=，所以x≥1函数是减函数或常函数，x＜1时函数是增函数或常函数，即，
所以，
在平面直角坐标系aOb内，作出可行域，
动点（a，b）运动区域的面积为：1．
故答案为：1．
点评：本题是难度较大题目，考查函数的单调性，线性规划的应用，能够由题意推出a，b满足的条件是解题的关键点和难点．