Question

不等式kx²-2x+6k＜0．
（1）若不等式解集是{x|x＜-3或x＞-2}，求k的值；
（2）若不等式解集是R，求k的取值范围；
（3）若方程kx²-2x+6k=0有两根，其中一根大于1，另一根小于1，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可知-3，-2是方程kx²-2x+6k=0的两根，利用韦达定理可求得k值；
（2）分k=0，k≠0两种情况进行讨论，k=0易判断，k≠0可得

k＜0 △=4-24k2＜0

解出即可；
（3）借助二次函数的图象及二次函数的性质可得k的不等式，解出即可；

解答：解：（1）∵kx²-2x+6k＜0解集是{x|x＜-3或x＞-2}，
∴-3，-2是方程kx²-2x+6k=0的两根，
∴-3+（-2）=

2

k

，解得k=-

2

5

；
（2）若k=0，不等式为-2x＜0，x＞0不合题意，
若k≠0，则

k＜0 △=4-24k2＜0

，解得k＜-

6

6

，
综上k取值范围是：k＜-

6

6

，
（3）令f（x）=kx²-2x+6k，
由题意得

k＞0 f(1)＜0

或

k＜0 f(1)＞0

，即

k＞0 k-2+6k＜0

或

k＜0 k-2+6k＞0

，解得0＜k＜

2

7

．

点评：本题考查一元二次不等式的解法、函数的零点，考查函数与方程思想，考查学生分析解决问题的能力．