Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知sin(2A+

π

6

)=

1

2

，b=1，△ABC的面积为

3

2

，则

b+c

sinB+sinC

的值为

2

．

Answer 1

分析：根据sin(2A+

π

6

)=

1

2

解出A=

π

3

，利用三角形的面积公式算出c=2．根据余弦定理a²=b²+c²-2bccosA的式子算出c=

3

，最后利用正弦定理加以计算，即可得到答案．

解答：解：∵sin(2A+

π

6

)=

1

2

，A∈（0，π）
∴2A+

π

6

=

5π

6

，可得A=

π

3

∵b=1，△ABC的面积为

3

2

，
∴S=

1

2

bcsinA=

3

2

，即

1

2

×1×c×sinA=

3

2

，解之得c=2
由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA=1+4-2×1×2cos

π

3

=3
∴c=

3

（舍负）
根据正弦定理，得

b+c

sinB+sinC

=

a

sinA

=

3

sin π 3

=2
故答案为：2

点评：本题着重考查了特殊角的三角函数值、三角形的面积公式、正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．